נולד בשנת תרנ"ו (1896) בברסלאו שבגרמניה. לימים היה לעורך דין ידוע וגם נודע בפעילותו בחיי הציבור היהודי, כחבר הנהלת הקהילה בברסלאו ותנועת ה"מזרחי". בגרמניה נשא אשה ונולדו להם שלושה ילדם. בשנת 1938 עלתה המשפחה כולה לארץ ישראל והשתקעה בירושלים. משה אביעזר השתתף בין השאר בתחרות שהוכרזה על ידי האוניברסיטה העברית. וחיבורו "חי בגרמניה לפני עלייתו של היטלר ואחריה" זכה בפרס ראשון.

במלחמת העולם השנייה התגייס לצבא הבריטי והוצב לחיל החפרים ושירת במצרים ובמדבר המערבי. ביום י"ח באייר תש"א (15.5.1941) נהרג בהפצצה במדבר המערבי והובא למנוחות בבית העלמין הצבאי הבריטי באל-עלמיין שבמצרים. הניח אשה ושלושה

ילדים.

שמו הונצח ב"ספר ההתנדבות", בספר "יזכור" של מכון ז'בוטינסקי וב"ספר השנה של העיתונאים" תש"ו.

עוד על שירותו בצבא הבריטי:
משה פולקה אביעזר ( Polke Moshe Aviezer (Max)), מספר אישי בריטי PAL/14248, התגייס לצבא הבריטי בשנת 1941. הוצב בחיל החפרים הבריטי (P.C. - Pioneer Corps)  ביחידה 609 Pioneer Coy. מקצועו הצבאי - חפר. דרגתו בצבא הבריטי טוראי (Pte. - Private).
הובא למנוחות עולמים בבית הקברות EL ALAMEIN WAR CEMETERY, מצרים. 
מיקום הקבר: XXVIII.H.20